第5题

给定一副

n>1

张的牌。每张牌上写有一个正整数。这副牌具有如下性质：任意两张牌上数字的算术平均值，也等于某个由一张或多张牌组成的集合上数字的几何平均值。对于哪些

n

，能推出牌上的数字全部相等？

第 1/8 步：有理数的整数次幂必为整数

通俗地说

正整数的有理根必为整数。

x^m=N,\ x\in\mathbb Q,\ N\in\mathbb Z_{>0}\Longrightarrow x\in\mathbb Z

详细分析

将 $x=u/v$ 写成最简分数。由 $u^m=Nv^m$ 及 $(u,v)=1$ 得 $v^m\mid u^m$ ，所以 $v=1$ ，从而 $x$ 是整数。