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第1题

考虑凸四边形 ABCDABCD。点 PP 位于 ABCDABCD 内部。下列比例等式成立：∠PAD:∠PBA:∠DPA=1:2:3=∠CBP:∠BAP:∠BPC\angle PAD : \angle PBA : \angle DPA = 1 : 2 : 3 = \angle CBP : \angle BAP : \angle BPC。证明下列三条直线共点：角 ∠ADP\angle ADP 与 ∠PCB\angle PCB 的内角平分线，以及线段 ABAB 的垂直平分线。
第 2/6 步：猜测共点：三角形 APBAPB 的外心
上一步下一步
通俗地说

ABAB 的垂直平分线自动经过以边 ABAB 为边的任意三角形的外心，因此该点是与两条角平分线进行检验的自然候选点。

O=circumcenter of △APBO=\text{circumcenter of }\triangle APB
详细分析

设 OO 为三角形 APBAPB 的外心。由于 OA=OBOA=OB，根据定义点 OO 在线段 ABAB 的垂直平分线上；剩下只需证明 OO 也在 ∠ADP\angle ADP 与 ∠PCB\angle PCB 的内角平分线上。