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第1题

考虑凸四边形 ABCDABCD。点 PP 位于 ABCDABCD 内部。下列比例等式成立：∠PAD:∠PBA:∠DPA=1:2:3=∠CBP:∠BAP:∠BPC\angle PAD : \angle PBA : \angle DPA = 1 : 2 : 3 = \angle CBP : \angle BAP : \angle BPC。证明下列三条直线共点：角 ∠ADP\angle ADP 与 ∠PCB\angle PCB 的内角平分线，以及线段 ABAB 的垂直平分线。
第 3/6 步：用 β\beta 表示 ∠BOP\angle BOP 与 ∠BCP\angle BCP
上一步下一步
通俗地说

圆周角定理把顶点 AA 处的角 ∠BAP\angle BAP 转化为点 OO 处的圆心角，而三角形 BPCBPC 的内角和把顶点 BB、PP 处已知的角转化为顶点 CC 处的角。

∠BOP=2∠BAP=4β,∠BCP=180∘−(∠CBP+∠BPC)=180∘−4β\angle BOP=2\angle BAP=4\beta,\qquad \angle BCP=180^\circ-(\angle CBP+\angle BPC)=180^\circ-4\beta
详细分析

在三角形 APBAPB 的外接圆中，弦 BPBP 所对的圆心角 ∠BOP\angle BOP 等于圆周角 ∠BAP=2β\angle BAP=2\beta 的两倍，故 ∠BOP=4β\angle BOP=4\beta。在三角形 BPCBPC 中，内角和给出 ∠BCP=180∘−∠CBP−∠BPC=180∘−β−3β=180∘−4β\angle BCP=180^\circ-\angle CBP-\angle BPC=180^\circ-\beta-3\beta=180^\circ-4\beta。