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第1题

考虑凸四边形 ABCDABCD。点 PP 位于 ABCDABCD 内部。下列比例等式成立：∠PAD:∠PBA:∠DPA=1:2:3=∠CBP:∠BAP:∠BPC\angle PAD : \angle PBA : \angle DPA = 1 : 2 : 3 = \angle CBP : \angle BAP : \angle BPC。证明下列三条直线共点：角 ∠ADP\angle ADP 与 ∠PCB\angle PCB 的内角平分线，以及线段 ABAB 的垂直平分线。
第 4/6 步：推出 B,C,P,OB,C,P,O 四点共圆且 COCO 平分 ∠PCB\angle PCB
上一步下一步
通俗地说

对角之和为 180∘180^\circ 正是圆内接四边形的判定条件，而相等的半径 OB=OPOB=OP 从该圆上任意一点看去都张出相等的角。

∠BOP+∠BCP=180∘  ⟹  B,C,P,O concyclic  ⟹  ∠BCO=∠OCP\angle BOP+\angle BCP=180^\circ\implies B,C,P,O\text{ concyclic}\implies \angle BCO=\angle OCP
详细分析

由于 ∠BOP+∠BCP=4β+(180∘−4β)=180∘\angle BOP+\angle BCP=4\beta+(180^\circ-4\beta)=180^\circ，四边形 BCPOBCPO 内接于圆。因为 OB=OPOB=OP 都是三角形 APBAPB 外接圆的半径，相等的弦 OB,OPOB,OP 在圆 BCPOBCPO 上从点 CC 看去张出相等的角，即 ∠BCO=∠OCP\angle BCO=\angle OCP；因此 COCO 平分 ∠PCB\angle PCB。