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第1题

考虑凸四边形 ABCDABCD。点 PP 位于 ABCDABCD 内部。下列比例等式成立：∠PAD:∠PBA:∠DPA=1:2:3=∠CBP:∠BAP:∠BPC\angle PAD : \angle PBA : \angle DPA = 1 : 2 : 3 = \angle CBP : \angle BAP : \angle BPC。证明下列三条直线共点：角 ∠ADP\angle ADP 与 ∠PCB\angle PCB 的内角平分线，以及线段 ABAB 的垂直平分线。
第 5/6 步：在 DD 一侧重复同样的论证：DODO 平分 ∠ADP\angle ADP
上一步下一步
通俗地说

交换 A↔BA\leftrightarrow B 与 D↔CD\leftrightarrow C 的角色，并用 α\alpha 替换 β\beta，便完全重复同样的计算。

∠AOP=2∠ABP=4α,∠ADP=180∘−(∠PAD+∠DPA)=180∘−4α  ⟹  A,D,P,O concyclic  ⟹  ∠ADO=∠ODP\angle AOP=2\angle ABP=4\alpha,\qquad \angle ADP=180^\circ-(\angle PAD+\angle DPA)=180^\circ-4\alpha\implies A,D,P,O\text{ concyclic}\implies \angle ADO=\angle ODP
详细分析

用 A,D,αA,D,\alpha 替代 B,C,βB,C,\beta 作同样的论证：圆心角 ∠AOP=2∠ABP=4α\angle AOP=2\angle ABP=4\alpha，三角形内角和给出 ∠ADP=180∘−∠PAD−∠DPA=180∘−α−3α=180∘−4α\angle ADP=180^\circ-\angle PAD-\angle DPA=180^\circ-\alpha-3\alpha=180^\circ-4\alpha。二者之和为 180∘180^\circ，故 A,D,P,OA,D,P,O 共圆，而 OA=OPOA=OP 给出 ∠ADO=∠ODP\angle ADO=\angle ODP，所以 DODO 平分 ∠ADP\angle ADP。