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第2题

设 aa、bb、cc、dd 是满足 a≥b≥c≥d>0a \ge b \ge c \ge d > 0 且 a+b+c+d=1a+b+c+d=1 的实数。证明 (a+2b+3c+4d) aabbccdd<1(a+2b+3c+4d)\,a^ab^bc^cd^d < 1。
第 1/5 步：用带权 AM–GM 控制 aabbccdda^ab^bc^cd^d
上一步下一步
通俗地说

把 a,b,c,da,b,c,d 同时当作带权 AM–GM 中的权重与取值，就能直接把带权幂平均 aabbccdda^ab^bc^cd^d 与普通的二次平均 a2+b2+c2+d2a^2+b^2+c^2+d^2 进行比较，这利用了 a+b+c+d=1a+b+c+d=1。

a⋅a+b⋅b+c⋅c+d⋅da+b+c+d≥aabbccdda+b+c+d   ⟹   aabbccdd≤a2+b2+c2+d2\frac{a\cdot a+b\cdot b+c\cdot c+d\cdot d}{a+b+c+d}\ge \sqrt[a+b+c+d]{a^ab^bc^cd^d}\ \implies\ a^ab^bc^cd^d\le a^2+b^2+c^2+d^2
详细分析

对取值 a,b,c,da,b,c,d 本身使用权重为 a,b,c,da,b,c,d（其和为 11）的带权 AM–GM，得到 a⋅a+b⋅b+c⋅c+d⋅da+b+c+d≥aabbccdd\frac{a\cdot a+b\cdot b+c\cdot c+d\cdot d}{a+b+c+d}\ge a^ab^bc^cd^d，即 aabbccdd≤a2+b2+c2+d2a^ab^bc^cd^d\le a^2+b^2+c^2+d^2。