第2题

设

a

、

b

、

c

、

d

是满足

a \ge b \ge c \ge d > 0

且

a+b+c+d=1

的实数。证明

(a+2b+3c+4d)\,a^ab^bc^cd^d < 1

。

第 3/5 步：利用次序

a\ge b\ge c\ge d

分别对

a^2,b^2,c^2,d^2

各项作优控

上一步下一步

通俗地说

由于 $a,b,c,d$ 递减， $d$ （最小变量）上的系数 $4$ 可以替换为转移到某个更大变量上的 $3$ 而不减少总和，从而得到 $a+2b+3c+4d$ 的四个独立上界，分别用于 $a^2,b^2,c^2,d^2$ 中的每一个。

a^2(a+2b+3c+4d)\le a^2(a+3b+3c+3d),\ \ b^2(a+2b+3c+4d)\le b^2(3a+b+3c+3d),\ \ c^2(a+2b+3c+4d)\le c^2(3a+3b+c+3d),\ \ d^2(a+2b+3c+4d)\le d^2(3a+3b+3c+d)

详细分析

由 $d\le b$ 得 $a+2b+3c+4d\le a+3b+3c+3d$ 。由 $b+d\le 2a$ （来自 $a\ge b$ 与 $a\ge d$ ）得 $a+2b+3c+4d\le 3a+b+3c+3d$ 。由 $2c+d\le 2a+b$ （来自两次 $a\ge c$ 与 $b\ge d$ ）得 $a+2b+3c+4d\le 3a+3b+c+3d$ 。由 $2a+b\ge 3d$ （来自两次 $a\ge d$ 与 $b\ge d$ ）得 $a+2b+3c+4d\le 3a+3b+3c+d$ 。把每个不等式乘以对应的非负量 $a^2,b^2,c^2,d^2$ ，即得上述四个不等式。