第2题

设

a

、

b

、

c

、

d

是满足

a \ge b \ge c \ge d > 0

且

a+b+c+d=1

的实数。证明

(a+2b+3c+4d)\,a^ab^bc^cd^d < 1

。

第 4/5 步：把四个上界相加并展开

上一步下一步

(a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2)\le a^2(a+3b+3c+3d)+b^2(3a+b+3c+3d)+c^2(3a+3b+c+3d)+d^2(3a+3b+3c+d)

详细分析

把第3步的四个不等式相加，将左边重新合并为 $(a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2)$ ，再把两边按 $a,b,c,d$ 展开为多项式，右边等于 $(a+b+c+d)^3$ 减去严格为正的项 $6(abc+bcd+cda+dab)$ ，故 $(a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2) < (a+b+c+d)^3$ 。