第2题

设

a

、

b

、

c

、

d

是满足

a \ge b \ge c \ge d > 0

且

a+b+c+d=1

的实数。证明

(a+2b+3c+4d)\,a^ab^bc^cd^d < 1

。

第 5/5 步：利用

a+b+c+d=1

得出结论

上一步下一步

(a+2b+3c+4d)\,a^ab^bc^cd^d\ \le\ (a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2)\ <\ (a+b+c+d)^3=1

详细分析

把第2步与第4步同假设 $a+b+c+d=1$ 结合，得到 $(a+2b+3c+4d)a^ab^bc^cd^d\le(a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2)<(a+b+c+d)^3=1$ ，这正是所要证明的不等式。第一步中的等号迫使 $a=b=c=d=\frac14$ ，此时整条链给出严格的界 $\frac58<1$ ，验证了不等式是严格的。