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第3题

有 4n4n 颗石子，重量分别为 1,2,3,…,4n1, 2, 3, \ldots, 4n。每颗石子被染成 nn 种颜色之一，且每种颜色恰有四颗石子。证明可以把这些石子分成两堆，使得两堆的总重量相等，并且每堆恰好包含每种颜色各两颗石子。
第 6/6 步：验证两堆石子平衡
上一步下一步
通俗地说

用两种方式统计蓝色关联次数，可知蓝色细绳与绿色细绳数目恰好相等，而每条细绳重量相同，所以两堆必然重量相等。

∣Pileblue∣=∣Pilegreen∣=2n,∑Pileblue=∑Pilegreen=n(4n+1).|\text{Pile}_{\text{blue}}|=|\text{Pile}_{\text{green}}|=2n,\qquad \sum \text{Pile}_{\text{blue}}=\sum \text{Pile}_{\text{green}}=n(4n+1).
详细分析

把蓝色度数在全部 n 个顶点上求和，共数出 2n 个蓝色边端点，而每条蓝色细绳贡献2个端点，所以恰有 n 条蓝色细绳；同理有 n 条绿色细绳，与总数 2n 条相符。每条细绳重量为 4n+1，所以蓝堆重量为 n(4n+1)，绿堆重量也是 n(4n+1)，于是两堆重量相等，并且由上一步二者的颜色组成也相同，构造完成。