第4题

设整数

n > 1

。山坡上有

n^2

个站点，它们的海拔高度各不相同。两家缆车公司

A

和

B

各自运营

k

条缆车线路；每条缆车线路把乘客从某个站点直接送到更高的站点，中途不停靠。

A

的

k

条缆车线路有

k

个不同的起点和

k

个不同的终点，并且起点越高的缆车，其终点也越高。同样的条件对

B

也成立。如果可以从较低的站点出发，只使用该公司的一条或多条缆车线路（不允许其他任何站点间的移动）到达较高的站点，就说这两个站点被该公司连接。求最小的正整数

k

，使得无论两家公司如何运营，都能保证存在两个同时被两家公司连接的站点。

第 2/8 步：计算链的条数

通俗地说

增加一条缆车会把此前分离的两个路径分量连接起来，因此每条缆车恰好使分量数减少1。

c_X=n^2-k\qquad (X=A,B).

详细分析

开始时有 n² 个孤立站点，即 n² 个分量。每条缆车都连接两个不同的分量：若它连接同一分量内的两个顶点，就会在海拔严格上升的条件下产生有向环，这是不可能的。因此每条缆车都使路径分量数减少1，每家公司都有 n²-k 条链。