第4题

设整数

n > 1

。山坡上有

n^2

个站点，它们的海拔高度各不相同。两家缆车公司

A

和

B

各自运营

k

条缆车线路；每条缆车线路把乘客从某个站点直接送到更高的站点，中途不停靠。

A

的

k

条缆车线路有

k

个不同的起点和

k

个不同的终点，并且起点越高的缆车，其终点也越高。同样的条件对

B

也成立。如果可以从较低的站点出发，只使用该公司的一条或多条缆车线路（不允许其他任何站点间的移动）到达较高的站点，就说这两个站点被该公司连接。求最小的正整数

k

，使得无论两家公司如何运营，都能保证存在两个同时被两家公司连接的站点。

第 3/8 步：考察候选值

通俗地说

在这个候选阈值下，每家公司只有 n−1 条链来容纳全部 n² 个站点，这正是所需的计数压力。

k=n^2-n+1\quad\Longrightarrow\quad c_A=c_B=n-1.

详细分析

令 k=n²−n+1。根据上一步的计数，A 和 B 都把 n² 个站点分成 n²−(n²−n+1)=n−1 条链。下面证明这必然产生一对同时被两家公司连接的站点。