第4题

设整数

n > 1

。山坡上有

n^2

个站点，它们的海拔高度各不相同。两家缆车公司

A

和

B

各自运营

k

条缆车线路；每条缆车线路把乘客从某个站点直接送到更高的站点，中途不停靠。

A

的

k

条缆车线路有

k

个不同的起点和

k

个不同的终点，并且起点越高的缆车，其终点也越高。同样的条件对

B

也成立。如果可以从较低的站点出发，只使用该公司的一条或多条缆车线路（不允许其他任何站点间的移动）到达较高的站点，就说这两个站点被该公司连接。求最小的正整数

k

，使得无论两家公司如何运营，都能保证存在两个同时被两家公司连接的站点。

第 4/8 步：找到一条长链

通俗地说

如果 A 的每条链至多有 n 个站点，那么 n−1 条链至多容纳 n²−n 个站点，少于全部 n² 个站点。

|C|\ge n+1\quad\text{for some A-chain }C.

详细分析

假设 A 的每条链都至多含 n 个顶点。由于 A 有 n−1 条链，它们至多包含 n(n−1)=n²−n 个站点，与共有 n² 个站点矛盾。因此某条 A 链 C 至少包含 n+1 个站点。