第4题

设整数

n > 1

。山坡上有

n^2

个站点，它们的海拔高度各不相同。两家缆车公司

A

和

B

各自运营

k

条缆车线路；每条缆车线路把乘客从某个站点直接送到更高的站点，中途不停靠。

A

的

k

条缆车线路有

k

个不同的起点和

k

个不同的终点，并且起点越高的缆车，其终点也越高。同样的条件对

B

也成立。如果可以从较低的站点出发，只使用该公司的一条或多条缆车线路（不允许其他任何站点间的移动）到达较高的站点，就说这两个站点被该公司连接。求最小的正整数

k

，使得无论两家公司如何运营，都能保证存在两个同时被两家公司连接的站点。

第 6/8 步：准备达到界限的构造

通俗地说

要证明这个阈值最小，需要构造一个每家公司少一条缆车且不存在同时连接站点对的例子。

k_0=n^2-n.

详细分析

现在取 k₀=n²−n=n(n−1)。用满足 1≤i,j≤n 的有序对 (i,j) 标记 n² 个站点，并赋予海拔 h(i,j)=i+n(j−1)。这样所有站点海拔不同，并按每块 n 个站点分成 n 个连续区间。