第5题

给定一副

n>1

张的牌。每张牌上写有一个正整数。这副牌具有如下性质：任意两张牌上数字的算术平均值，也等于某个由一张或多张牌组成的集合上数字的几何平均值。对于哪些

n

，能推出牌上的数字全部相等？

第 5/8 步：选择不被 p 整除的最大牌

通俗地说

最大公约数条件保证存在这样的牌。

a_k=\max\{a_i:p\nmid a_i\},\qquad a_k<M

详细分析

由于最大公约数为 $1$ ，至少有一张牌不被 $p$ 整除，所以 $a_k$ 存在。因为 $M$ 被 $p$ 整除，故 $a_k<M$ 。