第5题

给定一副

n>1

张的牌。每张牌上写有一个正整数。这副牌具有如下性质：任意两张牌上数字的算术平均值，也等于某个由一张或多张牌组成的集合上数字的几何平均值。对于哪些

n

，能推出牌上的数字全部相等？

第 7/8 步：几何平均只使用不被 p 整除的牌

通俗地说

不被 p 整除的乘积不能含有被 p 整除的因子。

x^m=\prod_{r=1}^{m}a_{i_r},\qquad p\nmid x\Longrightarrow p\nmid a_{i_r}

详细分析

由假设， $x$ 是 $m\ge1$ 张牌的几何平均。因此 $x^m=\prod_{r=1}^m a_{i_r}$ 。由于 $p\nmid x$ ，没有因子被 $p$ 整除，所以每个因子都不超过 $a_k$ 。