第5题

给定一副

n>1

张的牌。每张牌上写有一个正整数。这副牌具有如下性质：任意两张牌上数字的算术平均值，也等于某个由一张或多张牌组成的集合上数字的几何平均值。对于哪些

n

，能推出牌上的数字全部相等？

第 8/8 步：矛盾与结论

通俗地说

极大反例不可能存在。

x=\left(\prod_{r=1}^{m}a_{i_r}\right)^{1/m}\le a_k\lt x

详细分析

不超过 $a_k$ 的数的几何平均至多为 $a_k$ ，这与 $x>a_k$ 矛盾。因此所有牌相等，对每个 $n>1$ 结论都成立。