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第6题

设整数 n>1n>1，平面上有一个含 nn 个点的集合 SS，且 SS 中任意两个不同点之间的距离至少为 11。证明存在一条分离 SS 的直线 ℓ\ell，使得对某个绝对常数 c>0c>0，SS 中每个点到 ℓ\ell 的距离至少为 cn−1/3c n^{-1/3}。（若连接 SS 中两点的某条线段与 ℓ\ell 相交，则称直线 ℓ\ell 分离点集 SS。）
第 3/8 步：给弦长求上界
上一步下一步
通俗地说

圆的几何给出弦长上界。

XY=2R2−(R−12)2=2R−14<2nδXY=2\sqrt{R^2-(R-\frac12)^2}=2\sqrt{R-\frac14}<2\sqrt{n\delta}
详细分析

取以 BB 为圆心、半径 RR 的圆中垂直于 ABAB 且距 AA 为 12\frac12 的弦 XYXY。由勾股定理，XY=2R2−(R−12)2=2R−14<2nδXY=2\sqrt{R^2-(R-\frac12)^2}=2\sqrt{R-\frac14}<2\sqrt{n\delta}。