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第6题

设整数 n>1n>1，平面上有一个含 nn 个点的集合 SS，且 SS 中任意两个不同点之间的距离至少为 11。证明存在一条分离 SS 的直线 ℓ\ell，使得对某个绝对常数 c>0c>0，SS 中每个点到 ℓ\ell 的距离至少为 cn−1/3c n^{-1/3}。（若连接 SS 中两点的某条线段与 ℓ\ell 相交，则称直线 ℓ\ell 分离点集 SS。）
第 4/8 步：计算狭窄圆弓中的点
上一步下一步
通俗地说

许多相互分离的点必须落入狭窄圆弓。

T=the smaller segment cut off by XY,#(T∩S)>12δT=\text{the smaller segment cut off by }XY,\qquad \#(T\cap S)>\frac1{2\delta}
详细分析

令 TT 为弦 XYXY 截出的较小圆弓。它沿 ABAB 方向的宽度为 12\frac12。由于投影到 ABAB 的相邻间隔至多为 δ\delta，该圆弓中 SS 的点数满足 #(T∩S)>12δ\#(T\cap S)>\frac1{2\delta}。