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第6题

设整数 n>1n>1，平面上有一个含 nn 个点的集合 SS，且 SS 中任意两个不同点之间的距离至少为 11。证明存在一条分离 SS 的直线 ℓ\ell，使得对某个绝对常数 c>0c>0，SS 中每个点到 ℓ\ell 的距离至少为 cn−1/3c n^{-1/3}。（若连接 SS 中两点的某条线段与 ℓ\ell 相交，则称直线 ℓ\ell 分离点集 SS。）
第 5/8 步：将 T 中的点投影到弦上
上一步下一步
通俗地说

狭窄宽度迫使弦向投影充分分离。

∣P−Q∣≥1,∣proj⁡XY(P)−proj⁡XY(Q)∣>32(P,Q∈S∩T)|P-Q|\ge1,\quad |\operatorname{proj}_{XY}(P)-\operatorname{proj}_{XY}(Q)|>\frac{\sqrt3}{2}\quad(P,Q\in S\cap T)
详细分析

对 P,Q∈S∩TP,Q\in S\cap T，它们在 ABAB 方向的坐标差小于 12\frac12。若其在 XYXY 上的投影差至多为 32\frac{\sqrt3}{2}，由勾股定理将有 PQ<1PQ<1，与 SS 中点的分离性矛盾。因此相邻的 XYXY 投影之差大于 32\frac{\sqrt3}{2}。