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第6题

设整数 n>1n>1，平面上有一个含 nn 个点的集合 SS，且 SS 中任意两个不同点之间的距离至少为 11。证明存在一条分离 SS 的直线 ℓ\ell，使得对某个绝对常数 c>0c>0，SS 中每个点到 ℓ\ell 的距离至少为 cn−1/3c n^{-1/3}。（若连接 SS 中两点的某条线段与 ℓ\ell 相交，则称直线 ℓ\ell 分离点集 SS。）
第 6/8 步：给同一弦长求下界
上一步下一步
通俗地说

分离的投影点占据弦长。

XY>32(#(T∩S)−1)>34δ−32XY>\frac{\sqrt3}{2}(\#(T\cap S)-1)>\frac{\sqrt3}{4\delta}-\frac{\sqrt3}{2}
详细分析

将 S∩TS\cap T 中各点投影到 XYXY 并排序，得到 XY>32(#(T∩S)−1)>34δ−32XY>\frac{\sqrt3}{2}(\#(T\cap S)-1)>\frac{\sqrt3}{4\delta}-\frac{\sqrt3}{2}。