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第6题

设整数 n>1n>1，平面上有一个含 nn 个点的集合 SS，且 SS 中任意两个不同点之间的距离至少为 11。证明存在一条分离 SS 的直线 ℓ\ell，使得对某个绝对常数 c>0c>0，SS 中每个点到 ℓ\ell 的距离至少为 cn−1/3c n^{-1/3}。（若连接 SS 中两点的某条线段与 ℓ\ell 相交，则称直线 ℓ\ell 分离点集 SS。）
第 7/8 步：合并两个界
上一步下一步
通俗地说

两个估计迫使出现立方根尺度。

34δ−32<XY<2nδ⟹δ≥c′n−1/3(c′>0 absolute)\frac{\sqrt3}{4\delta}-\frac{\sqrt3}{2}<XY<2\sqrt{n\delta}\Longrightarrow \delta\ge c'n^{-1/3}\quad(c'>0\text{ absolute})
详细分析

合并 34δ−32<XY<2nδ\frac{\sqrt3}{4\delta}-\frac{\sqrt3}{2}<XY<2\sqrt{n\delta} 得到某个绝对常数 c′>0c'>0 的 δ≥c′n−1/3\delta\ge c'n^{-1/3}：当 δ≥1\delta\ge1 时显然；当 δ<1\delta<1 时左边至少为 38δ\frac{\sqrt3}{8\delta}，整理即得立方根下界。