MathLabs

国际数学奥林匹克 · 2021年

试题

  1. 第1题设 n≥100n \ge 100 为整数。Ivan 把数 n,n+1,…,2nn, n+1, \ldots, 2n 分别写在不同的卡片上，然后把这 n+1n+1 张卡片洗匀并分成两堆。证明其中至少有一堆包含两张卡片，其数字之和为完全平方数。解法: 1
  2. 第2题证明对所有实数 x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n，不等式 ∑i=1n∑j=1n∣xi−xj∣≤∑i=1n∑j=1n∣xi+xj∣\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i-x_j|}\le\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j|} 都成立。解法: 1
  3. 第3题设 DD 是锐角三角形 ABCABC（AB>ACAB>AC）内部一点，满足 ∠DAB=∠CAD\angle DAB=\angle CAD。线段 ACAC 上的点 EE 满足 ∠ADE=∠BCD\angle ADE=\angle BCD，线段 ABAB 上的点 FF 满足 ∠FDA=∠DBC\angle FDA=\angle DBC，直线 ACAC 上的点 XX 满足 CX=BXCX=BX。设 O1O_1、O2O_2 分别是三角形 ADCADC 与 EXDEXD 的外心。证明直线 BCBC、EFEF、O1O2O_1O_2 共点。解法: 1
  4. 第4题设 Γ\Gamma 是以 II 为圆心的圆，ABCDABCD 是凸四边形，其边 ABAB、BCBC、CDCD、DADA 都与 Γ\Gamma 相切。设 Ω\Omega 是三角形 AICAIC 的外接圆。将 BABA 延长过 AA 与 Ω\Omega 交于 XX，将 BCBC 延长过 CC 与 Ω\Omega 交于 ZZ。将 ADAD、CDCD 分别延长过 DD 与 Ω\Omega 交于 YY、TT。证明 AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC.AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC.解法: 1
  5. 第5题两只松鼠 Bushy 和 Jumpy 为过冬收集了 20212021 颗核桃。Jumpy 把核桃从 11 编号到 20212021，并绕着它们最喜欢的树挖了 20212021 个排成圆形的小洞。第二天早上，Jumpy 发现 Bushy 已经往每个洞里放了一颗核桃，但完全没在意编号。Jumpy 很不满意，决定通过一系列 20212021 次操作重新排列核桃。在第 kk 次操作中，Jumpy 交换与核桃 kk 相邻的两颗核桃的位置。证明存在某个 kk，使得在第 kk 次操作中，Jumpy 交换的核桃 aa 与 bb 满足 a<k<ba<k<b。解法: 1
  6. 第6题设 m≥2m\ge2 为整数，AA 是（不必为正）整数的有限集合，B1,B2,B3,…,BmB_1,B_2,B_3,\ldots,B_m 是 AA 的子集。假设对每个 k=1,2,…,mk=1,2,\ldots,m，BkB_k 中元素之和为 mkm^k。证明 AA 至少含有 m/2m/2 个元素。解法: 1