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第3题

设 DD 是锐角三角形 ABCABC（AB>ACAB>AC）内部一点，满足 ∠DAB=∠CAD\angle DAB=\angle CAD。线段 ACAC 上的点 EE 满足 ∠ADE=∠BCD\angle ADE=\angle BCD，线段 ABAB 上的点 FF 满足 ∠FDA=∠DBC\angle FDA=\angle DBC，直线 ACAC 上的点 XX 满足 CX=BXCX=BX。设 O1O_1、O2O_2 分别是三角形 ADCADC 与 EXDEXD 的外心。证明直线 BCBC、EFEF、O1O2O_1O_2 共点。
第 1/6 步：利用 DD 的等角共轭点证明 BCEFBCEF 共圆
上一步下一步
通俗地说

确定 EE 与 FF 的角度条件，恰好是使 EE、FF 落在过 DD 及其等角共轭点的圆上的条件。

AE⋅AC=AD⋅AD′=AF⋅ABAE\cdot AC=AD\cdot AD'=AF\cdot AB
详细分析

设 D′D' 为 DD 关于 ∠BAC\angle BAC 的等角共轭点。角度条件 ∠ADE=∠BCD\angle ADE=\angle BCD 与 ∠FDA=∠DBC\angle FDA=\angle DBC 使四边形 CEDD′CEDD' 与 BFDD′BFDD' 均共圆，于是在 AA 处计算幂得到 AE⋅AC=AD⋅AD′=AF⋅ABAE\cdot AC=AD\cdot AD'=AF\cdot AB；因此 B,C,E,FB,C,E,F 共圆。