第1题

设

n \ge 100

为整数。Ivan 把数

n, n+1, \ldots, 2n

分别写在不同的卡片上，然后把这

n+1

张卡片洗匀并分成两堆。证明其中至少有一堆包含两张卡片，其数字之和为完全平方数。

第 1/5 步：构造两两之和为完全平方数的三元组

通俗地说

三个连续的完全平方数 $(2k-1)^2,(2k)^2,(2k+1)^2$ 可以同时实现为某个三元组两两之和。

a=2k^2-4k,\quad b=2k^2+1,\quad c=2k^2+4k

详细分析

设 $a+b=(2k-1)^2$ 、 $b+c=(2k+1)^2$ 、 $c+a=(2k)^2$ 。解这个线性方程组得到 $a=2k^2-4k$ 、 $b=2k^2+1$ 、 $c=2k^2+4k$ 。在下文使用的范围 $k\ge9$ 内，有 $a<b<c$ 。