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第1题

设 n≥100n \ge 100 为整数。Ivan 把数 n,n+1,…,2nn, n+1, \ldots, 2n 分别写在不同的卡片上，然后把这 n+1n+1 张卡片洗匀并分成两堆。证明其中至少有一堆包含两张卡片，其数字之和为完全平方数。
第 2/5 步：确定 a,b,ca,b,c 何时都落在 [n,2n][n,2n] 内
上一步下一步
通俗地说

要求三元组中最小值不小于 nn、最大值不超过 2n2n，就能恰好确定给定 kk 时哪些 nn 可行。

Ik={n∈Z:k2+2k≤n≤2k2−4k}I_k=\{n\in\mathbb{Z}: k^2+2k\le n\le 2k^2-4k\}
详细分析

三元组落在 [n,2n][n,2n] 内当且仅当 a≥na\ge n 且 c≤2nc\le 2n，也就是 2k2−4k≥n2k^2-4k\ge n 且 k2+2k≤nk^2+2k\le n。因此该三元组恰好在 nn 属于区间 Ik={n∈Z:k2+2k≤n≤2k2−4k}I_k=\{n\in\mathbb{Z}: k^2+2k\le n\le 2k^2-4k\} 时可用。