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第1题

设 n≥100n \ge 100 为整数。Ivan 把数 n,n+1,…,2nn, n+1, \ldots, 2n 分别写在不同的卡片上，然后把这 n+1n+1 张卡片洗匀并分成两堆。证明其中至少有一堆包含两张卡片，其数字之和为完全平方数。
第 4/5 步：证明当 k≥9k\ge9 时相邻区间相互重叠
上一步下一步
通俗地说

若 IkI_k 的右端至少达到 Ik+1I_{k+1} 左端减一，那么这些区间之间就不会留下整数空隙。

2k2−4k≥(k+1)2+2(k+1)−12k^2-4k\ge (k+1)^2+2(k+1)-1
详细分析

当 k≥9k\ge9 时可验证 2k2−4k≥(k+1)2+2(k+1)−12k^2-4k\ge (k+1)^2+2(k+1)-1（等价于 k2−8k−2≥0k^2-8k-2\ge0，当 k≥9k\ge9 时成立），故 IkI_k 的右端至少达到 Ik+1I_{k+1} 左端前一个整数；因此 I9,I10,I11,…I_9,I_{10},I_{11},\ldots 无缝覆盖从 9999 开始的每个整数。