第2题

证明对所有实数

x_1,x_2,\ldots,x_n

，不等式

\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i-x_j|}\le\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j|}

都成立。

第 1/5 步：验证基础情形

n=1

和

n=2

通俗地说

小情形是归纳法的基础，可直接计算验证。

n=1:\ 0\le 2\sqrt{|x_1|}

详细分析

当 $n=1$ 时两边都显然等于 $0$ （或分离对角项后化为 $0\le 2\sqrt{|x_1|}$ ），当 $n=2$ 时，按 $x_1x_2$ 的符号简单分情形即可验证该不等式；这两者作为对 $n$ 归纳的基础。