MathLabs

第2题

证明对所有实数 x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n，不等式 ∑i=1n∑j=1n∣xi−xj∣≤∑i=1n∑j=1n∣xi+xj∣\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i-x_j|}\le\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j|} 都成立。
第 2/5 步：把每个变量平移 tt 并分离出右边
上一步下一步
F(t)=∑i=1n∑j=1n∣xi+xj+2t∣F(t)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j+2t|}
详细分析

对每个 ii 把 xix_i 换成 xi+tx_i+t 不改变 ∑i,j∣xi−xj∣\sum_{i,j}\sqrt{|x_i-x_j|}，而右边变为函数 F(t)=∑i=1n∑j=1n∣xi+xj+2t∣F(t)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j+2t|}；因此只需证明把右边换成 min⁡tF(t)\min_t F(t) 后的不等式即可。