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第2题

证明对所有实数 x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n，不等式 ∑i=1n∑j=1n∣xi−xj∣≤∑i=1n∑j=1n∣xi+xj∣\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i-x_j|}\le\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j|} 都成立。
第 3/5 步：FF 分段凹，故在断点处取得最小值
上一步下一步
通俗地说

在两端都趋于无穷的分段凹函数，其最小值必在其有限个断点之一处取得。

F(t)→∞ as ∣t∣→∞F(t)\to\infty\ \text{as } |t|\to\infty
详细分析

每一项 ∣xi+xj+2t∣\sqrt{|x_i+x_j+2t|} 在其零点两侧各自都是凹函数，因此 F(t)F(t) 是分段凹的，只有有限个断点（即 xi+xj+2t=0x_i+x_j+2t=0 处），且当 ∣t∣→∞|t|\to\infty 时 F(t)→∞F(t)\to\infty；在每一段凹的区间上最小值都在端点取得，所以 FF 的整体最小值出现在这些断点之一，即某个 ii 的 t=−xit=-x_i（对角项 j=ij=i）或某对 i≠ji\ne j 的 t=−xi+xj2t=-\tfrac{x_i+x_j}{2}。