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第2题

证明对所有实数 x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n，不等式 ∑i=1n∑j=1n∣xi−xj∣≤∑i=1n∑j=1n∣xi+xj∣\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i-x_j|}\le\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j|} 都成立。
第 4/5 步：情形 t=−xit=-x_i：删去一个变量并归纳
上一步下一步
t=−xi ⇒ xi+t=0t=-x_i\ \Rightarrow\ x_i+t=0
详细分析

若最小值在 t=−xit=-x_i 处取得，则平移后第 ii 个变量为 00，FF 中第 ii 行与列贡献 2∑j∣xj∣2\sum_{j}\sqrt{|x_j|}，恰好与 ∑p,q∣xp−xq∣\sum_{p,q}\sqrt{|x_p-x_q|} 对应的行列相同；消去这些相等的贡献后，不等式化归为剩下 n−1n-1 个变量的同一命题，由归纳假设成立。