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第2题

证明对所有实数 x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n，不等式 ∑i=1n∑j=1n∣xi−xj∣≤∑i=1n∑j=1n∣xi+xj∣\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i-x_j|}\le\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j|} 都成立。
第 5/5 步：情形 t=−xi+xj2t=-\tfrac{x_i+x_j}{2}：删去一对并归纳
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t=−xi+xj2 ⇒ xi+t=−(xj+t)t=-\tfrac{x_i+x_j}{2}\ \Rightarrow\ x_i+t=-(x_j+t)
详细分析

若最小值在 t=−xi+xj2t=-\tfrac{x_i+x_j}{2} 处取得，则平移后 xi+t=−(xj+t)x_i+t=-(x_j+t)，交换标号 ii 与 jj 会使涉及 ii 或 jj 的每一项 ∣xp+xq+2t∣\sqrt{|x_p+x_q+2t|} 作为多重集合保持不变，并变成 ∑p,q∣xp−xq∣\sum_{p,q}\sqrt{|x_p-x_q|} 中对应的项；标号为 i,ji,j 的行与列在两边再次匹配，删去这两个变量把不等式化归为 n−2n-2 个变量，完成归纳与证明。