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第3题

设 DD 是锐角三角形 ABCABC（AB>ACAB>AC）内部一点，满足 ∠DAB=∠CAD\angle DAB=\angle CAD。线段 ACAC 上的点 EE 满足 ∠ADE=∠BCD\angle ADE=\angle BCD，线段 ABAB 上的点 FF 满足 ∠FDA=∠DBC\angle FDA=\angle DBC，直线 ACAC 上的点 XX 满足 CX=BXCX=BX。设 O1O_1、O2O_2 分别是三角形 ADCADC 与 EXDEXD 的外心。证明直线 BCBC、EFEF、O1O2O_1O_2 共点。
第 2/6 步：使用 DD 处的切线
上一步下一步
通俗地说

切线点为两个圆产生相等的幂。

P=BC∩tD(BCD),PD is tangent to (DEF)P=BC\cap t_D(BCD),\qquad PD\text{ is tangent to }(DEF)
详细分析

令 P=BC∩tD(BCD)P=BC\cap t_D(BCD)。利用题设角条件及 DAB=CADDAB=CAD 可得 ∠PDE=∠DFE\angle PDE=\angle DFE，故 PDPD 是 (DEF)(DEF) 在 DD 处的切线。