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第3题

设 DD 是锐角三角形 ABCABC（AB>ACAB>AC）内部一点，满足 ∠DAB=∠CAD\angle DAB=\angle CAD。线段 ACAC 上的点 EE 满足 ∠ADE=∠BCD\angle ADE=\angle BCD，线段 ABAB 上的点 FF 满足 ∠FDA=∠DBC\angle FDA=\angle DBC，直线 ACAC 上的点 XX 满足 CX=BXCX=BX。设 O1O_1、O2O_2 分别是三角形 ADCADC 与 EXDEXD 的外心。证明直线 BCBC、EFEF、O1O2O_1O_2 共点。
第 4/6 步：追踪反演后的圆
上一步下一步
通俗地说

每个解圆的反演圆都与一个固定辅助圆有简单的公共弦。

A′=inv⁡P(A),(ACD)↔(A′BD),(EXD)↔(A′BX)A'=\operatorname{inv}_P(A),\qquad (ACD)\leftrightarrow(A'BD),\quad (EXD)\leftrightarrow(A'BX)
详细分析

令 A′A' 为 AA 的反演点。由于 B↔CB\leftrightarrow C，(ACD)(ACD) 的反演圆为 (A′BD)(A'BD)；利用 CX=BXCX=BX 及由角条件得到的反平行关系，(EXD)(EXD) 的反演圆为 (A′BX)(A'BX)。令 YY 为 (ACD)(ACD)、(A′BD)(A'BD) 与 (ABC)(ABC) 的根心；由公共弦可知 YY 对 (EXD)(EXD) 也有相同的幂。