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第3题

设 DD 是锐角三角形 ABCABC（AB>ACAB>AC）内部一点，满足 ∠DAB=∠CAD\angle DAB=\angle CAD。线段 ACAC 上的点 EE 满足 ∠ADE=∠BCD\angle ADE=\angle BCD，线段 ABAB 上的点 FF 满足 ∠FDA=∠DBC\angle FDA=\angle DBC，直线 ACAC 上的点 XX 满足 CX=BXCX=BX。设 O1O_1、O2O_2 分别是三角形 ADCADC 与 EXDEXD 的外心。证明直线 BCBC、EFEF、O1O2O_1O_2 共点。
第 5/6 步：证明三个圆心共线
上一步下一步
通俗地说

根心处的共同幂迫使两个原圆心位于经过 PP 的垂直平分线上。

P,O1,O2 are collinearP,O_1,O_2\text{ are collinear}
详细分析

令 TT 为 (ACD)(ACD) 与 (EXD)(EXD) 的第二交点。由反演圆构造，TT 位于以 PP 为中心、PDPD 为半径的圆上，故 PT=PDPT=PD。由于 O1O_1 与 O2O_2 都是经过 D,TD,T 的圆的圆心，它们都在 DTDT 的垂直平分线上；PP 也在该直线上。因此 P,O1,O2P,O_1,O_2 共线。