MathLabs

第4题

设 Γ\Gamma 是以 II 为圆心的圆，ABCDABCD 是凸四边形，其边 ABAB、BCBC、CDCD、DADA 都与 Γ\Gamma 相切。设 Ω\Omega 是三角形 AICAIC 的外接圆。将 BABA 延长过 AA 与 Ω\Omega 交于 XX，将 BCBC 延长过 CC 与 Ω\Omega 交于 ZZ。将 ADAD、CDCD 分别延长过 DD 与 Ω\Omega 交于 YY、TT。证明 AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC.AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC.
第 2/6 步：找出反射对称
上一步下一步
通俗地说

两圆圆心连线这一轴交换 Ω\Omega 上的对向点。

X↔Y,T↔Zunder reflection in OIX\leftrightarrow Y,\quad T\leftrightarrow Z\quad\text{under reflection in }OI
详细分析

令 OO 为 Ω\Omega 的圆心。由于 II 是切四边形的内心，在圆内接四边形 ACZXACZX 中追角得到 ∠IZX=∠IAB=∠IAD=∠IAY\angle IZX=\angle IAB=\angle IAD=\angle IAY。因此弦 IXIX 与 IYIY 相等，X,YX,Y 关于 OIOI 对称。对 C,I,T,ZC,I,T,Z 作同样论证可知 T,ZT,Z 也关于 OIOI 对称。