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第6题

设 m≥2m\ge2 为整数，AA 是（不必为正）整数的有限集合，B1,B2,B3,…,BmB_1,B_2,B_3,\ldots,B_m 是 AA 的子集。假设对每个 k=1,2,…,mk=1,2,\ldots,m，BkB_k 中元素之和为 mkm^k。证明 AA 至少含有 m/2m/2 个元素。
第 6/6 步：得出 ∣A∣≥m/2|A|\ge m/2
上一步下一步
mm<m2∣A∣ ⇒ ∣A∣>m/2m^m<m^{2|A|}\ \Rightarrow\ |A|>m/2
详细分析

由 m(m−1)+1<m2m(m-1)+1<m^2 得 (m(m−1)+1)∣A∣<m2∣A∣(m(m-1)+1)^{|A|}<m^{2|A|}，故 mm<m2∣A∣m^m<m^{2|A|}，即 m<2∣A∣m<2|A|，也就是 ∣A∣>m/2|A|>m/2；由于 ∣A∣|A| 为整数，特别地就得到 ∣A∣≥m/2|A|\ge m/2，即为所求。