第2题

设

\mathbb{R}^+

表示正实数集合。求所有函数

f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+

，使得对每个

x\in\mathbb{R}^+

，恰好存在一个

y\in\mathbb{R}^+

满足

xf(y)+yf(x)\le2

第 2/6 步：假设

a\ne b

互为友数并推出

f(a)>1/a

上一步下一步

通俗地说

“互为友数”是对称关系，所以若 $a$ 与 $b$ 是不同的友数，那么它们各自也必须是自己的友数，这很快就变得过于苛刻。

a\ne b,\quad af(b)+bf(a)>2

详细分析

反设 $a\ne b$ 互为友数。由于友数关系要求每个 $x$ 都有友数，且由对称性， $a$ 是 $b$ 的唯一友数、 $b$ 是 $a$ 的唯一友数已经用尽了它们各自唯一允许的友数，故 $a$ 不可能同时是自己的友数，于是 $af(a)+af(a)>2$ ，得 $f(a)>1/a$ ；对称地 $f(b)>1/b$ 。