国际数学奥林匹克 · 2022年

试题

第1题奥斯陆银行发行两种硬币：铝币（记为 $A$ ）和青铜币（记为 $B$ ）。Marianne 有 $n$ 枚铝币和 $n$ 枚青铜币，按某种任意初始顺序排成一行。链是指由同类型连续硬币组成的任意子序列。给定固定正整数 $k\le2n$ ，Marianne 反复执行以下操作：找出包含从左数第 $k$ 枚硬币的最长链，并把该链中所有硬币移到这一行的最左端。求所有满足 $1\le k\le2n$ 的数对 $(n,k)$ ，使得对任意初始顺序，在操作过程的某个时刻，最左边的 $n$ 枚硬币都属于同一类型。解法: 1
第2题设 $\mathbb{R}^+$ 表示正实数集合。求所有函数 $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ ，使得对每个 $x\in\mathbb{R}^+$ ，恰好存在一个 $y\in\mathbb{R}^+$ 满足 $xf(y)+yf(x)\le2$ 解法: 1
第3题设 $k$ 为正整数， $S$ 为奇素数组成的有限集合。证明将 $S$ 的元素排列在一个圆周上，使得任意相邻两数之积都具有 $x^2+x+k$ （其中 $x$ 为某个正整数）的形式，这样的排列方式（不计旋转与反射）至多只有一种。解法: 1
第4题设 $ABCDE$ 是凸五边形，满足 $BC=DE$ 。假设 $ABCDE$ 内部存在点 $T$ ，满足 $TB=TD$ 、 $TC=TE$ 及 $\angle ABT=\angle TEA$ 。设直线 $AB$ 与直线 $CD$ 、 $CT$ 分别交于点 $P$ 、 $Q$ ，且在该直线上依次为 $P,B,A,Q$ 。设直线 $AE$ 与直线 $CD$ 、 $DT$ 分别交于点 $R$ 、 $S$ ，且在该直线上依次为 $R,E,A,S$ 。证明点 $P$ 、 $S$ 、 $Q$ 、 $R$ 共圆。解法: 1
第5题求所有满足 $a^p=b!+p$ 的正整数三元组 $(a,b,p)$ ，其中 $p$ 为素数。解法: 1
第6题设 $n$ 为正整数。一个北欧方阵是一个 $n\times n$ 的棋盘，含有从 $1$ 到 $n^2$ 的所有整数，每格恰好一个数。一条上坡路径是由一个或多个格子组成的序列，满足：(a) 序列的第一个格子是谷，即其数小于其所有正交相邻格子的数；(b) 序列中每个后续格子都与前一个格子正交相邻；(c) 序列中各格子的数递增。求北欧方阵中上坡路径总数的最小可能值，用 $n$ 的函数表示。解法: 1