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第2题

设 R+\mathbb{R}^+ 表示正实数集合。求所有函数 f:R+→R+f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+，使得对每个 x∈R+x\in\mathbb{R}^+，恰好存在一个 y∈R+y\in\mathbb{R}^+ 满足 xf(y)+yf(x)≤2xf(y)+yf(x)\le2
第 3/6 步：用 AM–GM 与 af(b)+bf(a)≤2af(b)+bf(a)\le2 矛盾
上一步下一步
af(b)+bf(a)>ab+ba≥2af(b)+bf(a)>\tfrac{a}{b}+\tfrac{b}{a}\ge2
详细分析

利用上一步的 f(a)>1/af(a)>1/a 与 f(b)>1/bf(b)>1/b，由 AM–GM 得 af(b)+bf(a)>a/b+b/a≥2af(b)+bf(a)>a/b+b/a\ge2，这与 aa、bb 互为友数的假设 af(b)+bf(a)≤2af(b)+bf(a)\le2 矛盾。因此没有两个不同的数能互为友数，故每个 x∈R+x\in\mathbb{R}^+ 都是自己唯一的友数。