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第2题

设 R+\mathbb{R}^+ 表示正实数集合。求所有函数 f:R+→R+f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+，使得对每个 x∈R+x\in\mathbb{R}^+，恰好存在一个 y∈R+y\in\mathbb{R}^+ 满足 xf(y)+yf(x)≤2xf(y)+yf(x)\le2
第 4/6 步：排除其他友数后重述条件
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xf(x)≤1 and xf(y)+yf(x)>2 for x≠yxf(x)\le1\ \text{and}\ xf(y)+yf(x)>2\ \text{for}\ x\ne y
详细分析

由于 xx 是自己唯一的友数，xf(x)+xf(x)≤2xf(x)+xf(x)\le2 给出 xf(x)≤1xf(x)\le1，且对每个 y≠xy\ne x 都必须有 xf(y)+yf(x)>2xf(y)+yf(x)>2（否则 yy 将成为 xx 的第二个友数）。