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第2题

设 R+\mathbb{R}^+ 表示正实数集合。求所有函数 f:R+→R+f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+，使得对每个 x∈R+x\in\mathbb{R}^+，恰好存在一个 y∈R+y\in\mathbb{R}^+ 满足 xf(y)+yf(x)≤2xf(y)+yf(x)\le2
第 5/6 步：令 ε→0\varepsilon\to0 迫使 f(x)≥1/xf(x)\ge1/x
上一步下一步
f(x)>x+2ε(x+ε)2=1x−ε2x(x+ε)2f(x)>\frac{x+2\varepsilon}{(x+\varepsilon)^2}=\frac1x-\frac{\varepsilon^2}{x(x+\varepsilon)^2}
详细分析

对小的 ε>0\varepsilon>0，取 y=x+εy=x+\varepsilon 应用严格不等式：x/(x+ε)<xf(x+ε)+(x+ε)f(x)x/(x+\varepsilon)<xf(x+\varepsilon)+(x+\varepsilon)f(x)，结合 (x+ε)f(x+ε)≤1(x+\varepsilon)f(x+\varepsilon)\le1 得 f(x)>x+2ε(x+ε)2=1x−ε2x(x+ε)2f(x)>\frac{x+2\varepsilon}{(x+\varepsilon)^2}=\frac1x-\frac{\varepsilon^2}{x(x+\varepsilon)^2}；令 ε→0\varepsilon\to0 即得 f(x)≥1/xf(x)\ge1/x。