第3题

设

k

为正整数，

S

为奇素数组成的有限集合。证明将

S

的元素排列在一个圆周上，使得任意相邻两数之积都具有

x^2+x+k

（其中

x

为某个正整数）的形式，这样的排列方式（不计旋转与反射）至多只有一种。

第 1/6 步：称一个数为良好的并允许

x\ge0

通俗地说

代换 $x\mapsto-1-x$ 不改变 $x^2+x+k$ ，所以限制 $x$ 为正整数或限制 $x$ 为非负整数所描述的值集合相同。

n\ \text{good}\iff n=x^2+x+k,\ x\in\mathbb{Z}_{\ge0}

详细分析

由于 $(-1-x)^2+(-1-x)+k=x^2+x+k$ ，用非负整数 $x$ 定义“ $n=x^2+x+k$ 时 $n$ 良好”与要求 $x$ 为正整数所描述的数完全相同；为方便起见我们采用非负的约定。