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第3题

设 kk 为正整数,SS 为奇素数组成的有限集合。证明将 SS 的元素排列在一个圆周上,使得任意相邻两数之积都具有 x2+x+kx^2+x+k(其中 xx 为某个正整数)的形式,这样的排列方式(不计旋转与反射)至多只有一种。
第 6/6 步:删去最大素数并对 ∣S∣|S| 归纳
S∖{p} is obtained by replacing q−p−r with q−rS\setminus\{p\}\text{ is obtained by replacing }q-p-r\text{ with }q-r
详细分析

当 ∣S∣≤2|S|\le2 时,圆排列在旋转和反射下显然唯一。当 ∣S∣≥3|S|\ge3 时,令 p=max⁡Sp=\max S,其两个相邻元素为不同的 q,rq,r。上一步说明删去 pp 并连接 q,rq,r 仍保持良好性,故由归纳假设 S∖{p}S\setminus\{p\} 的排列唯一。将最大素数 pp 插回这两个被迫的相邻元素之间,即得 SS 的唯一排列。