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第4题

设 ABCDEABCDE 是凸五边形，满足 BC=DEBC=DE。假设 ABCDEABCDE 内部存在点 TT，满足 TB=TDTB=TD、TC=TETC=TE 及 ∠ABT=∠TEA\angle ABT=\angle TEA。设直线 ABAB 与直线 CDCD、CTCT 分别交于点 PP、QQ，且在该直线上依次为 P,B,A,QP,B,A,Q。设直线 AEAE 与直线 CDCD、DTDT 分别交于点 RR、SS，且在该直线上依次为 R,E,A,SR,E,A,S。证明点 PP、SS、QQ、RR 共圆。
第 4/6 步：利用 TB=TDTB=TD、TC=TETC=TE 证明 C,D,Q,SC,D,Q,S 共圆
上一步下一步
QT⋅TE=QT⋅TC=ST⋅TB=ST⋅TD ⇒ CDQS cyclicQT\cdot TE=QT\cdot TC=ST\cdot TB=ST\cdot TD\ \Rightarrow\ CDQS\ \text{cyclic}
详细分析

交叉相乘 QT/ST=TB/TEQT/ST=TB/TE 得 QT⋅TE=ST⋅TBQT\cdot TE=ST\cdot TB；代入 TE=TCTE=TC 与 TB=TDTB=TD 得链式等式 QT⋅TE=QT⋅TC=ST⋅TB=ST⋅TDQT\cdot TE=QT\cdot TC=ST\cdot TB=ST\cdot TD，特别地 QT⋅TC=ST⋅TDQT\cdot TC=ST\cdot TD。由于 T=CQ∩DST=CQ\cap DS，这正是 C,D,Q,SC,D,Q,S 共圆的幂判定条件。