MathLabs

第4题

设 ABCDEABCDE 是凸五边形，满足 BC=DEBC=DE。假设 ABCDEABCDE 内部存在点 TT，满足 TB=TDTB=TD、TC=TETC=TE 及 ∠ABT=∠TEA\angle ABT=\angle TEA。设直线 ABAB 与直线 CDCD、CTCT 分别交于点 PP、QQ，且在该直线上依次为 P,B,A,QP,B,A,Q。设直线 AEAE 与直线 CDCD、DTDT 分别交于点 RR、SS，且在该直线上依次为 R,E,A,SR,E,A,S。证明点 PP、SS、QQ、RR 共圆。
第 5/6 步：利用圆 CDQSCDQS 对 PP 处的角进行追踪
上一步下一步
∠QPR=∠QPC=∠QCD−∠PQC\angle QPR=\angle QPC=\angle QCD-\angle PQC
详细分析

由于 P,RP,R 都在直线 CDCD 上，∠QPR=∠QPC\angle QPR=\angle QPC。因为 C,D,Q,SC,D,Q,S 共圆，内接角 ∠QCD\angle QCD 等于 ∠QSD\angle QSD；三角形 PQCPQC 在 CC 处的外角给出 ∠QCD=∠QPC+∠PQC\angle QCD=\angle QPC+\angle PQC，故 ∠QPR=∠QPC=∠QCD−∠PQC\angle QPR=\angle QPC=\angle QCD-\angle PQC。