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第4题

设 ABCDEABCDE 是凸五边形，满足 BC=DEBC=DE。假设 ABCDEABCDE 内部存在点 TT，满足 TB=TDTB=TD、TC=TETC=TE 及 ∠ABT=∠TEA\angle ABT=\angle TEA。设直线 ABAB 与直线 CDCD、CTCT 分别交于点 PP、QQ，且在该直线上依次为 P,B,A,QP,B,A,Q。设直线 AEAE 与直线 CDCD、DTDT 分别交于点 RR、SS，且在该直线上依次为 R,E,A,SR,E,A,S。证明点 PP、SS、QQ、RR 共圆。
第 6/6 步：完成角度追踪以得出 PQRSPQRS 共圆
上一步下一步
∠QCD−∠PQC=∠QSD−∠EST=∠QSR ⇒ PQRS cyclic\angle QCD-\angle PQC=\angle QSD-\angle EST=\angle QSR\ \Rightarrow\ PQRS\ \text{cyclic}
详细分析

代入上一步的 ∠QCD=∠QSD\angle QCD=\angle QSD 与 ∠PQC=∠EST\angle PQC=\angle EST，得 ∠QCD−∠PQC=∠QSD−∠EST\angle QCD-\angle PQC=\angle QSD-\angle EST；由于 S,T,DS,T,D 共线且 S,E,A,RS,E,A,R 共线，∠EST\angle EST 与 ∠DSE\angle DSE 度量同样的射线关系，故 ∠QSD−∠EST=∠QSR\angle QSD-\angle EST=\angle QSR。结合上一步得 ∠QPR=∠QSR\angle QPR=\angle QSR，即 PP 与 SS 在相同角度下看线段 QRQR，也就是说 P,Q,R,SP,Q,R,S 共圆。