若 b!b!b! 已含两个 ppp 因子，则 b!+pb!+pb!+p 恰好只含一个 ppp 因子，而完全 ppp 次幂永远不会如此。
若 b≥2pb\ge2pb≥2p，则 p2∣b!p^2\mid b!p2∣b!，故 vp(b!+p)=1v_p(b!+p)=1vp(b!+p)=1，这对完全 ppp 次幂 apa^pap 不可能。情形 b=2p−1b=2p-1b=2p−1 需单独排除：(2p−1)!+p=p[(p−1)!(p+1)(p+2)⋯(2p−1)+1](2p-1)!+p=p\big[(p-1)!(p+1)(p+2)\cdots(2p-1)+1\big](2p−1)!+p=p[(p−1)!(p+1)(p+2)⋯(2p−1)+1]，由威尔逊定理，当 p>2p>2p>2 时括号内 ≡2(modp)\equiv2\pmod p≡2(modp)，再次与被 ppp 整除矛盾；当 p=2p=2p=2 时，3!+2=83!+2=83!+2=8 不是完全平方数。因此 b≤2p−2b\le2p-2b≤2p−2。