反设 p>ap>ap>a。则 p≥a+1p\ge a+1p≥a+1，且对整数 t≥a+1t\ge a+1t≥a+1，函数 at−ta^t-tat−t 递增，所以 b!=ap−p≥aa+1−(a+1)>a!b!=a^p-p\ge a^{a+1}-(a+1)>a!b!=ap−p≥aa+1−(a+1)>a!。故 b>ab>ab>a。将 b!=ap−pb!=a^p-pb!=ap−p 模 aaa 化简得 a∣pa\mid pa∣p，但 1<a<p1<a<p1<a<p，矛盾；a=1a=1a=1 也不满足原方程。因此 p≤ap\le ap≤a。