由 p≤ap\le ap≤a 且 p∣b!+pp\mid b!+pp∣b!+p 知 p∣b!p\mid b!p∣b!，特别地 p≤bp\le bp≤b。若 a>pa>pa>p，设 a=pka=pka=pk，整数 k≥2k\ge2k≥2；由于 k<p≤ak<p\le ak<p≤a，kkk 作为因子出现在 b!b!b! 中（因 k<p≤bk<p\le bk<p≤b），故 k∣b!k\mid b!k∣b!；但 k∣apk\mid a^pk∣ap 而 k∤pk\nmid pk∤p（因 k<pk<pk<p 且 ppp 为素数），故 k∤ap−p=b!k\nmid a^p-p=b!k∤ap−p=b!，矛盾。因此恰好 a=pa=pa=p。